Last Updated on 20. August 2021 by Thomas J. Fehr
Eine ganz einfache Rechnung kann doch ganz schön verblüffend sein!
Angenommen wir haben ein Objekt mit der Grösse 1 und teilen dieses in 3 kleinere gleich grosse Stücke, so erhalten wir also 3 Stücke der Grösse (1/3). Wenn wir nun eines dieser Stücke nehmen und mit 3 multiplizieren, sollten wir wieder die Grösse 1 erhalten. Wirklich?
Bruchschreibweise:
(1/3) * 3 = 1
den
1/3 * 3/1 = 1
Nehmen wir doch mal die Dezimalschreibweise:
0.333333... * 3 = 0.999999...
Es scheint so als hätte unser Objekt beim Rechnen an Grösse verloren! Was ist geschehen? Ist also die Zahl 0.999999… (mit einer unendlichen Folge von Neunen) doch 1, somit einfach eine andere Schreibweise für die 1?
Versuchen wir es doch auf eine einfache Art zu beweisen:
Wenn 0.999999... = 1 dann:
0.999999... * 10 = 9.999999...
9.999999...
-0.999999...
-------------
9.000000...
Ergibt also das gleiche wie: 10 - 1 = 9
Eine weitere Möglichkeit ist die algebraische Schreibweise:
Wir definieren: 0.999999... = a
Jetzt führen wir die gleiche Rechnung wie im oberen Beispiel durch:
10a -a = 9
9a = 9
a = 1
Wenn wir nun den Wert einsetzen wofür a steht, erhalten wir:
0.999999... = 1
Somit ist also klar, dass 0.999999… nur eine weitere Schreibweise für die einzigartige natürliche Zahl Eins ist.
Weitere interessante Beispiele zu den Zahlen, findet man im Buch von Peter J. Bentley mit dem Titel „Das Buch der Zahlen“.
Ich habe einen Gegenbeweis,dass das nicht so ist.Wo kann man solche Mathematische Beweise einreichen ?.Übrigens noch eine kleine Bemerkung wenn 1,00….000 = 0,9999……9 ersetzen kann ,könnte ja bei Grenzwertrechnungen problemlos durch Null dividiert werden. Besten Dank für die Kenntnisnahme
Hallo Sandro
Ich kann dir nicht sagen, wo du solche Beweise einreichen kannst. :o) Aber ich denke, wenn du deinen Beweis mal online publizierst, wirst du sicher ein Feedback dazu erhalten!? Ich habe den Beitrag noch ergänzt mit 2 Interessanten youtube Links.
En Gruess
Thomas
boah.
Für die Welt der realen Zahlen existieren schlicht keine Rechenvorschriften für Zahlen mit unendliche Nachkommastellen (transzendete Zahlen). Es sei denn, man kann diese Zahlen z.B. durch Polynome, Reihen oder Funktionen beschreiben, dann kann man mit diesen rechnen. Man wird aber nie einen ganzzahligen Wert erhalten.
Um dennoch mit Euler, pi, und anderen Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen im Alltag rechnen zu können, vereinbaren wir, welche Genauigkeit uns in der Anwendung genügt.
Also man kann 1/3×3=1 rechnen, aber 0,3333… × 3 ist unzulässig, um daraus 0,9999…=1 zu folgern.
Natürlich würde jeder, der einen Stab von 1 Meter Länge in drei Stücke teilen soll, 33cm nehmen. Oder 33,3cm. …
oder pi mal Daumen eben.
Mathematik ist aber leider eine exakte Wissenschaft, zu der auch die Erkenntnis gehört, das die reellen Zahlen wohlgeordnet sind. Schon deshalb widerspricht 1=0,9999… den Axiomen unseres mathematischen Modells.